用简单方法理解神经微分方程的变化规律

人工神经网络不仅在机器学习中广泛应用，也在改变常微分方程（ODE）的研究，它架起了数据驱动建模与经典动力系统之间的桥梁，并推动了无限深神经模型的发展。然而，在这一领域，其实际应用仍受限于学习到的动力学的不透明性——这些动力学以黑盒系统形式运行，可解释性有限，从而阻碍了对其部署的信任。现有的神经驱动动力系统分析方法较为稀缺，且由于计算限制，仅能获取一阶梯度信息，这限制了可实现的洞察深度。本文引入事件转移张量作为一种新工具，它包含高阶微分信息，为神经常微分方程（NeuralODE）在事件流形上的动力学提供了严格的数学描述。我们在多种应用中展示了其多功能性：在数据驱动的捕食者-猎物控制模型中表征不确定性、分析神经最优反馈动力学，以及在三体神经哈密顿系统中绘制着陆轨迹。在所有案例中，该方法通过未知的显式数学结构来表达神经常微分方程的行为，实现了其可解释性和解析验证。神经动力学被完全封装在一组紧凑且计算高效的张量中，保留了严格系统分析和认证所需的全部信息。研究结果为事件触发神经微分方程奠定了更深的理论基础，并提供了解释复杂系统动力学的数学结构。