海浪背后的秘密数学

阿尔贝托·马斯佩罗说，他工作中最棒的福利就是窗外的景色。他在意大利古城的里雅斯特一座小山上的国际高等研究院办公室，俯瞰着亚得里亚海北端的广阔海湾。“这里很有灵感，”这位数学家说，“这绝对是我见过最美的景色。”意大利人把的里雅斯特叫做“布拉风之城”，因当地著名的“布拉风”而得名——这种风从阿尔卑斯山不规则地吹下，席卷整座城市。当布拉风足够强时，会让海浪反向流动：它们不再拍打码头，而是从城市流向开阔的大海。但海浪永远到不了那里。在这些大风天，马斯佩罗从窗口能看到退去的海浪在离开港口时慢慢散开，最终海面变得平静。数学家用来研究水和其他流体流动的方程——莱昂哈德·欧拉近300年前首次提出——看起来足够简单。如果你知道每一滴水的位置和速度，并假设没有内摩擦力（即黏性）来简化数学，那么解欧拉方程就能预测水在任何时间段的变化。我们在海洋中看到的各种现象，如海啸、漩涡、离岸流，都是欧拉方程的解。但这些方程通常无法求解。即便是最简单、最常见的一种解——描述一列稳定滚动的平缓波浪——要从欧拉方程中推导出来也是数学难题。直到约30年前，我们对这些波浪的大部分了解都来自现实观察和猜测，证明似乎只是幻想。“学数学前，我以为水波是完全被理解的——根本不是问题，”瑞士洛桑联邦理工学院博士后保罗·文图拉（马斯佩罗的前研究生）说，“但实际上，它们很奇怪。”几十年来困扰数学家的一个奇特现象是：即使摩擦力极小，稳定滚动的平缓波浪最终还是会瓦解，变得不规则。数学家没料到这么简单的初始状态会产生这种不稳定行为。他们想证明这种不稳定性是欧拉方程的自然结果，却一直找不到方法。现在，马斯佩罗、文图拉与他们在的里雅斯特的同事马西米利亚诺·贝尔蒂以及罗马第三大学的利维亚·科尔西终于给出了证明，准确指出了这些不稳定性何时发生、何时不发生。这一成果是正在改变我们对地球波浪数学理解的复兴浪潮中的最新进展。数学家们用新的计算工具提出关于波浪行为的猜想，并用复杂的纸笔推演技术证明这些猜想。“这不是单一的突破，而是多方向新型分析方法的整体浪潮，”布朗大学数学家沃尔特·施特劳斯说，“我印象深刻。”古人常把海浪拍打海岸的不稳定节奏比作笑声。考虑到海浪一直难以被人类理解，或许古人说得对：海洋一直在嘲笑我们。即便在17世纪末18世纪初的启蒙运动鼎盛时期，当波浪成为科学讨论的焦点时，海洋似乎总能“笑到最后”。当时已有科学家测量了声波速度，牛顿和他的反对者就光的波动性争论不休，但人类最早认识的海浪仍是数学谜题。一个多世纪后情况才开始改变。19世纪初，乔治·斯托克斯爵士小时候在爱尔兰斯莱戈的家附近游泳时，一个巨浪差点把他卷到海里，从此他迷上了海浪。1847年，他发表了关于海浪的重要论文。他从无黏性流体的欧拉方程出发，加入了水面完全“自由”的数学条件——水面可以呈现任何形状。“这些方程看起来不难，”施特劳斯说，“但你看看微风拂过的湖面，会有各种复杂形态，比如白浪和滚浪，有的平行，有的不平行。”这些不同形态作为欧拉方程的解，在数学上各不相同且非常复杂。对流体初始状态做极小改变，其演化可能大相径庭——小颠簸和漩涡可能变成畸形波和海啸。斯托克斯想研究的正是这些自由移动的水面，但难度极大。描述盒子里或管道中的水流运动已经够难了，至少还知道边界在哪；而水面在重力作用下高度和形状不受限制，数学上就复杂得多。“如果我早上七点去海滩，海面会很平静，”科尔西说，“但你仔细看水面的运动，其实一团乱。”不过，斯托克斯还是提出了一个猜想：水面可能形成间隔均匀、单向传播的波浪。20世纪20年代，数学家证明了斯托克斯的猜想。此外，他们发现，如果没有外部干扰，这些欧拉方程的解会永远存在：所谓的“斯托克斯波”会一直保持形态在水面传播。但如果一艘船的尾迹穿过波浪，波浪会吸收干扰保持形态，还是被永久破坏变成另一种波浪模式？几十年来，数学家认为斯托克斯波是稳定的，即小干扰影响极小。毕竟现实中充满干扰，海洋里却有很多斯托克斯波。如果它们一碰就散，根本到不了岸边。但1967年，数学家T·布鲁克·本杰明决定验证这个假设。他让学生吉姆·费尔在波浪槽（一端有振荡舵能产生斯托克斯波的狭长矩形水池）做实验。费尔却发现波浪到不了水池另一端。起初他以为实验装置有问题，后来才意识到波浪竟然是不稳定的。1995年，数学家终于证明这种“本杰明-费尔不稳定性”是欧拉方程的必然结果。但这留下了疑问：哪种干扰会破坏波浪，哪种不会？不稳定性增长多快？太平洋中心的一阵风会让几周后一列波浪袭击马里布海滩，还是波浪在到达前就瓦解了？马斯佩罗从没思考过的里雅斯特海湾的波浪为何消失，他的灵感最终来自电脑，而非窗外景色。2019年的波浪数学研讨会上，他和同事遇到了华盛顿大学应用数学家伯纳德·德科宁克。德科宁克与西雅图大学的凯蒂·奥利弗拉斯一直在绘制所有能破坏斯托克斯波的不稳定性。几年前，两人发现了一个惊人模式，一直无法释怀。当完美的斯托克斯波列遇到改变其形状的干扰时，有时干扰会扩大并破坏整个波列，有时几乎无影响。结果取决于干扰的频率——与原波浪长度相比的振荡次数。皮划艇产生的短而频繁的尾迹是高频干扰，而大型远洋客轮产生的长而慢的尾迹是低频干扰。通常，数学家认为波浪更容易从皮划艇这类高频干扰中恢复，因为其影响局限于波浪的小区域；而客轮尾迹可能同时影响整个波浪，造成永久破坏。本杰明-费尔不稳定性就是由低频干扰引起的。2011年，德科宁克和奥利弗拉斯模拟了不同频率的干扰，观察斯托克斯波的变化。如预期，高于某一频率时波浪能维持稳定。但当他们继续提高频率，突然又看到了破坏。起初奥利弗拉斯担心电脑程序有bug，“我觉得这不可能，”她说，“但越深入研究，这个现象越明显。”实际上，随着干扰频率增加，出现了交替模式：先是一段频率区间波浪不稳定，然后是稳定区间，接着又是不稳定区间，如此循环。德科宁克和奥利弗拉斯发表了这个反直觉的猜想：这种“不稳定性群岛”会无限延伸。他们把所有不稳定区间称为“isole”（意大利语“岛屿”）。这很奇怪，两人无法解释为何不稳定性会再次出现，更别说无限多次了，他们至少想证明这个惊人发现是正确的。多年来无人取得进展。2019年研讨会上，德科宁克找到马斯佩罗团队。他知道他们在量子物理中的波动现象数学研究方面经验丰富，或许能证明这些模式源于欧拉方程。意大利团队立即投入工作。他们从似乎导致波浪消失的最低频率组开始，先用物理方法将每个低频不稳定性表示为16个数的数组（矩阵），这些数编码了不稳定性随时间如何增长和扭曲斯托克斯波。数学家意识到，如果矩阵中的某个数始终为零，不稳定性就不会增长，波浪得以存在；如果为正数，不稳定性会增长并最终破坏波浪。为证明第一批不稳定性的这个数是正数，数学家们需要计算一个巨大的总和。这花了45页纸和近一年时间才解决。之后，他们转向高频破坏波浪的无限多个区间——“isole”。首先，他们推导出一个通用公式（另一个复杂总和），能给出每个“isole”所需的数值。然后用电脑程序解出前21个“isole”的公式（再往后计算量太大，电脑无法处理）。结果数值都为正数，符合预期，且似乎遵循一个简单模式，意味着其他“isole”的数值也会是正数。但模式不是证明，马斯佩罗团队不确定如何继续，于是向全球计算机专家求助。马斯佩罗一直在数学文献中寻找帮助，他认为需要简化计算。他发现罗格斯大学数学家多伦·蔡尔伯格的一本书，其中概述了用电脑进行复杂代数计算的算法方法。马斯佩罗无法将其应用到自己的问题中，便直接联系了蔡尔伯格。“我们最近遇到了一些无法解决的组合问题，”他在邮件中写道，“想知道您能否帮忙。”蔡尔伯格很感兴趣：“这问题正合我意。”经过一番努力，他让自己的电脑（他给电脑起名“沙洛什·B·埃哈德”，还让它作为所有论文的共同作者）计算了前2000个“isole”的总和，验证结果都为正数且符合意大利团队发现的模式。然后他召集计算机代数爱好者帮忙，提出若有人能证明该模式永远成立，就向整数序列在线百科全书捐赠100美元。2024年2月，蔡尔伯格兑现了承诺。经过与两位常合作的研究者长时间邮件交流，他得出完整证明：这些总和永远不会为零。德科宁克和奥利弗拉斯是对的：“isole”确实存在。这一结果意味着数学家终于准确知道哪种干扰会破坏斯托克斯波、哪种不会——这是他们200年来一直希望理解的。“简直太不可思议了，谢谢你们，”奥利弗拉斯说。这也让数学家有了更多工作：为什么波浪会以这种交替模式存在和消失？“好吧，这些‘isole’是真实的，”她说，“现在我们得关注它们了。”这一成果是近期一系列旨在阐明水波数学的论文中的最新一篇。数学家结合计算和理论技术的进展，更好地理解欧拉方程的解，证明了越来越多关于波浪行为的猜想。马斯佩罗团队希望他们的方法能用于解决该领域的其他问题。至于马斯佩罗办公室窗外布拉风吹动的波浪最终平静下来这一现象，他目前不能确定团队的数学是否能解释：“我不知道有没有联系，但我愿意相信是同样的不稳定性在起作用。”