如何衡量绳结的复杂程度

1876年，苏格兰数学家彼得·格思里·泰特开始尝试测量他所谓的绳结“打结程度”。他的研究为现代绳结理论奠定了基础，而他当时试图解决的是一个出了名的难题——区分不同的绳结。在数学中，绳结是指两端粘合在一起的缠绕细绳。如果无需剪断绳子，通过扭转和拉伸就能将一个绳结变成另一个，那么这两个绳结就是相同的。但仅从外观很难判断是否可行，例如一个看似极其复杂缠绕的绳结，实际上可能等同于一个简单的圆环。

泰特想到了一种判断两个绳结是否不同的方法：先将绳结平铺在桌上，找到绳子自身交叉的位置，剪断绳子，交换绳股位置后再粘合，这称为“交叉变换”。如果进行足够多次这样的操作，最终会得到一个无结的圆环。泰特所说的“打结程度”就是这一过程所需的最少交叉变换次数，如今被称为绳结的“解结数”。

如果两个绳结的解结数不同，那它们必定是不同的绳结。但泰特发现，解结数带来的问题比解答的还多。他在给科学家朋友詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的信中写道：“我深陷在一个思维定式里，担心自己可能遗漏了什么，或者过分强调了某些对别人来说极其简单的东西。”

如果泰特遗漏了什么，那么后来的每一位数学家也都如此。在过去的150年里，许多绳结理论家都对解结数感到困惑。内布拉斯加大学的苏珊·赫米勒说：“可以说，它是所有测量方法中最基础的。”但计算绳结的解结数往往难如登天，而且这个数字与绳结复杂度的对应关系也并不总是清晰。

为解开这个谜团，20世纪初的数学家们提出了一个关于组合绳结时解结数如何变化的简明猜想。如果能证明这一猜想，他们就能找到计算任意绳结解结数的方法，为数学家提供一种简单、具体的绳结复杂度测量方式。研究者们搜寻了近一个世纪，却几乎没有找到支持或反对这一猜想的证据。

直到今年6月发布的一篇论文中，赫米勒和她的长期合作者马克·布里滕汉姆发现了一对绳结，当它们组合在一起时，形成的绳结比猜想预测的更容易解开。借此，他们推翻了这一猜想，并利用该反例找到了无穷多对同样能推翻猜想的绳结。弗吉尼亚联邦大学的艾莉森·摩尔说：“论文发布时，我失声惊呼。”她补充道，这一结果表明“解结数是混沌、不可预测的，研究起来非常令人兴奋”，而这篇论文“就像挥舞着一面旗帜，宣告我们对此仍不理解”。

### 解结与未知之谜

这一猜想至少可追溯到1937年，当时德国数学家希尔玛·温特试图理解将绳结“相加”会发生什么——即先将两根绳子都打上结，再将末端粘合在一起（数学家称这种组合绳结为“连通和”）。温特认为，所得绳结的解结数应等于两个原始绳结解结数之和。

他的预测如今被称为“可加性猜想”，听起来合情合理。比如，将两个已知解结数分别为2和3的绳结进行连通和，理论上通过对左侧绳结进行2次交叉变换、对右侧进行3次，总共5次就能解开整个绳结。但这只能说明连通和的解结数不大于5，可能存在更高效的交叉变换序列，即整体解结数可能小于各部分之和。

要验证可加性猜想，数学家们要么找到解结序列更短的连通和，要么证明不存在这样的例子，但他们完全无从下手。部分问题在于，绳结的“图示”（即绳子在平面上的交叉方式）决定了交叉位置，而同一个绳结有多种图示，要找到最短交叉变换序列可能需要恰好选对图示，这难度极大。

1985年，数学家马丁·沙勒曼取得了一些进展，他证明任意两个解结数为1的绳结，其连通和的解结数总是2。印第安纳大学的查尔斯·利文斯顿说：“这让整个猜想看起来更有可能成立了。”这一结果暗示绳结世界可能存在规律：所有绳结都可由更小的“素绳结”构成，若知道素绳结的解结数，就能知道所有绳结的解结数。墨尔本大学的阿伦尼玛·雷说，数学家们希望猜想成立，“因为那意味着世界是有秩序的”。沙勒曼的结果后来被推广到其他类别的绳结，但无法确定是否适用于所有绳结。于是，布里滕汉姆和赫米勒召集了一群计算机来帮忙。

### 人工传数网络

十年前，两人启动了一个更宏大的项目：用计算机尽可能了解解结数。他们借助名为SnapPy的软件，该软件利用复杂的几何技术测试两个图示是否描绘同一绳结。几年前，SnapPy大幅扩展了数据库，能识别近6万个独特绳结，非常适合他们的研究。

他们从一个复杂绳结开始，对其进行各种可能的交叉变换，生成大量新绳结，再用SnapPy识别这些绳结，并重复这一过程。他们处理了数百万个对应数十万绳结的图示，最终建立了一个庞大的解结序列信息库，计算出数千个绳结解结数的上限。这项工作需要大量计算能力：他们在中布拉斯加大学计算中心申请了超级计算时间，同时在拍卖会上买旧笔记本电脑运行程序，总共管理着几十台电脑。布里滕汉姆说：“我们有点像‘人工传数网络’，靠在电脑间走动来传输信息。”

这个程序在后台运行了十多年，期间几台电脑因过热甚至起火报废，“有一台还冒出了火花，挺有趣的，”布里滕汉姆说（这些机器后来“光荣退休”）。2024年秋，一篇关于尝试用机器学习 disprove 可加性猜想却失败的论文引起了他们的注意。他们认为，机器学习可能不适合这个问题，因为反例就像“大海捞针”，而机器学习更擅长找规律。但这坚定了他们的想法：精心构建的“人工传数网络”或许能找到这根针。

### 绳结的束缚

布里滕汉姆和赫米勒意识到，他们可以利用已发现的解结序列来寻找可加性猜想的潜在反例。例如，假设有两个解结数为2和3的绳结，对它们的连通和进行一次交叉变换后得到一个新绳结。若可加性猜想成立，原连通和解结数应为5，新绳结解结数应为4。但如果数据库显示这个新绳结的解结数已知为3，那就意味着原连通和只需4次交叉变换就能解开，从而推翻猜想。

他们花了数月时间，让程序对这些绳结进行交叉变换，并将结果与数据库比对。今年春末的一天，布里滕汉姆像往常一样查看程序输出文件，意外发现了一行代码：“CONNECT SUM BROKEN”（连通和已破解）。这是他们编入程序的提示语，却从未指望真能看到。起初他们怀疑是程序出错，“我们脑子里第一个念头就是编程有问题，”布里滕汉姆说。赫米勒回忆：“我们放下了所有其他事，吃饭、睡觉都觉得麻烦。”但程序没问题，他们甚至用绳子打出了这个绳结，手动演示解结过程，确认反例真实存在。

### 扭曲的谜团

他们发现的反例由两个“（2,7）环面绳结”构成。这种绳结是将绳子缠绕三圈半后粘合末端而成，其镜像则是朝相反方向缠绕三圈半。（2,7）环面绳结及其镜像的解结数都是3，但两者的连通和只需5次交叉变换就能解开，而非猜想预测的6次。摩尔说：“这是个惊人简单的反例，体现了交叉变换的不可预测性。”这一结果还引出了无穷多个其他反例，包括几乎所有通过缠绕两根绳子并粘合形成的绳结。

如今，可加性猜想被彻底推翻，绳结理论界有了广阔的探索空间。对一些数学家来说，这一结果令人失望，因为它揭示绳结世界的结构不如预期有序，雷说解结数“不像我们希望的那样乖顺，有点让人难过”。但从另一个角度看，这反而让解结数更迷人。利文斯顿说：“几个月前我们还不知道，绳结理论竟有这么多复杂性和未知之处。”

这种额外复杂性的本质尚不清楚。布里滕汉姆和赫米勒在仔细研究反例时，仍未弄明白为何它能推翻可加性猜想，而其他绳结却不能。理解这一点或许能帮助数学家更好地把握绳结复杂度的成因。摩尔说：“我仍被解结数这个最基本的问题难住，这反而点燃了探索的热情。”

（编者注：布里滕汉姆和赫米勒的研究部分由西蒙斯基金会资助，该基金会也资助了本独立编辑杂志。西蒙斯基金会的资助决策不影响我们的报道。）